Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ
ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ»
для студентів IІІ курсу (VІ семестр)
базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки»
для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології
Затверджено
на засіданні кафедри
автоматизованих систем управління
Протокол № 9-08/09 від 12.01.2009 р.
Львів – 2009
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. І.М. Дронюк, Я.П. Романчук. – Львів: Видавництво НУЛП, 2009. – 9 с.
Укладачі: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск: Шпак З.Я., к.т.н., доц..
Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф.
Лабораторна робота № 5
Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)
Мета роботи: вивчити і засвоїти метод Ньютона.
Порядок роботи:
Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.
Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.
Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).
Створення проекту для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
Захист лабораторної роботи.
Короткі теоретичні відомості
1. Метод Ньютона для системи двох рівнянь.
Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох нелінійних рівнянь
F(x,y)=0
(1)
G(x,y)=0
де F,G:Rn→Rn
Послідовні наближення обчислюємо за формулами
xn+1=xn-
(2)
n=0,1,2…
Якобіан
повинен бути відмінним від нуля. Початкове наближення x0,y0 визначають наближено (графічно). Але зауважимо, що метод ефективний лише при достатній близькості початкового наближення в (2) до розв’язку системи (1).
2. Метод простої ітерації для системи двох нелінійних рівнянь.
Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.
F1(x,y)=0
(3)
F2(x,y)=0
Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:
(4)
де , – так звані інтегруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації
(5)
Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервнодиференційовні функції ,
(6)
Оцінка похибки n-го наближення дається формулою
(7)
де M=max{q1,q2}
Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М)<1.
Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)
(8)
Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи
(9)
За такого підбору параметрів α,β,γ,δ умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій , змінюється мало в околі точки
Приклад.. Нехай маємо систему
Записуємо еквівалентну систему
В квадраті будуть виконуватися умови
0<φ1<1, 0<φ2<1
Тоді умови (6) матимуть вигляд
3. Метод Ньютона для системи n рівнянь.
Нехай задано систему
...
